${0_{\mathrm{c}}}_{10}+{{30}_{\mathrm{c}}}_{12}+{{31}_{\mathrm{c}}}_{12}+{{32}_{\mathrm{c}}}_{12}-{{33}_{\mathrm{c}}}_{13}=?$

প্রদত্ত গাণিতিক সমস্যাটি সমাধান করার জন্য আমাদের সমাবেশ (Combinations) এর কিছু মৌলিক সূত্র ব্যবহার করতে হবে।

প্রথমে, প্রশ্নটিতে ব্যবহৃত পদগুলো বিশ্লেষণ করি:

\(_{0}C_{10}\)

\(_{30}C_{12}\)

\(_{31}C_{12}\)

\(_{32}C_{12}\)

\(- _{33}C_{13}\)

বিস্তারিত সমাধান:

১. প্রথম পদ \(_{0}C_{10}\) এর মান নির্ণয়:

সমাবেশের সংজ্ঞা অনুযায়ী, যখন \(n < r\) হয়, তখন \(_{n}C_{r} = 0\)। এখানে \(n=0\) এবং \(r=10\)।

সুতরাং, \(_{0}C_{10} = 0\)।

২. প্যাসকেলের অভেদ (Pascal's Identity) ব্যবহার:

আমরা জানি, প্যাসকেলের অভেদ হলো: \(_{n}C_{k} + _{n}C_{k+1} = _{n+1}C_{k+1}\)।

এই অভেদটিকে পুনরায় সাজিয়ে লেখা যায়: \(_{n}C_{k} = _{n+1}C_{k+1} - _{n}C_{k+1}\) (এখানে k এর স্থলে r বসানো হয়েছে)।

৩. এই অভেদটি ব্যবহার করে সমষ্টির পদগুলোকে সরল করা:

দেওয়া আছে \(_{30}C_{12} + _{31}C_{12} + _{32}C_{12}\)

প্রথম পদ: \(_{30}C_{12}\) কে \(_{n}C_{k} = _{n+1}C_{k+1} - _{n}C_{k+1}\) রূপে লিখলে (\(n=30, k=12\)):

\(_{30}C_{12} = _{30+1}C_{12+1} - _{30}C_{12+1} = _{31}C_{13} - _{30}C_{13}\)

দ্বিতীয় পদ: \(_{31}C_{12}\) কে একই রূপে লিখলে (\(n=31, k=12\)):

\(_{31}C_{12} = _{31+1}C_{12+1} - _{31}C_{12+1} = _{32}C_{13} - _{31}C_{13}\)

তৃতীয় পদ: \(_{32}C_{12}\) কে একই রূপে লিখলে (\(n=32, k=12\)):

\(_{32}C_{12} = _{32+1}C_{12+1} - _{32}C_{12+1} = _{33}C_{13} - _{32}C_{13}\)

৪. পদগুলোর সমষ্টি নির্ণয় (টেলিস্কোপিক সমষ্টি):

এখন, এই তিনটি পদের যোগফল হবে:

\( (_{31}C_{13} - _{30}C_{13}) + (_{32}C_{13} - _{31}C_{13}) + (_{33}C_{13} - _{32}C_{13}) \)

বন্ধনীর ভেতরের পদগুলো যোগ করলে আমরা পাই:

\( _{31}C_{13} - _{30}C_{13} + _{32}C_{13} - _{31}C_{13} + _{33}C_{13} - _{32}C_{13} \)

এই যোগফলে অনেক পদ বাতিল হয়ে যাবে (কারণ একটি ধনাত্মক ও একটি ঋণাত্মক একই পদ রয়েছে)। এটিকে টেলিস্কোপিক সমষ্টি (Telescoping Sum) বলে।

\( = - _{30}C_{13} + _{33}C_{13} \)

\( = _{33}C_{13} - _{30}C_{13} \)

৫. সম্পূর্ণ রাশিটির মান নির্ণয়:

মূল প্রশ্নটি ছিল: \(_{0}C_{10} + _{30}C_{12} + _{31}C_{12} + _{32}C_{12} - _{33}C_{13}\)

আমরা পেয়েছি \(_{0}C_{10} = 0\) এবং \(_{30}C_{12} + _{31}C_{12} + _{32}C_{12} = _{33}C_{13} - _{30}C_{13}\)।

সুতরাং, সম্পূর্ণ রাশিটি হবে:

\( 0 + (_{33}C_{13} - _{30}C_{13}) - _{33}C_{13} \)

\( = _{33}C_{13} - _{30}C_{13} - _{33}C_{13} \)

\( = - _{30}C_{13} \)

সুতরাং, প্রদত্ত রাশিটির সরলীকৃত মান হলো \( - _{30}C_{13} \)। প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে এই মানটি নেই।

প্রদত্ত শর্ত বা তথ্য অনুযায়ী এখানে কোনো অপশনই সঠিক নয়।